この記事で分かること
- 勝率 p・利益率 b・損失率 a から、長期の成長率を最大にする投資比率（ケリー比率）f* = p/a − q/b を求める手順。設例では NAV 10 億円の 20％（2 億円）
- 成長率は投資比率に対して山型になり、約 39.7％（ケリー比率の約 2 倍）を超えると、期待値がプラスでも資産が減ること
- 勝率を 5 ポイント誤ったときの成長率の変化と、ハーフ・ケリーや銘柄別の上限を併用する考え方
想定読者：投資比率（ポジションサイズ）を考える運用会社・ヘッジファンドの運用・調査担当、学生・若手
前提知識：勝率と期待値の計算、割合の掛け算。電卓で ln（自然対数）の値を出せれば足ります。
結論：期待値が正でも、張りすぎると長期の資産は減る
期待値がプラスの投資なら、資金を多く張るほど得になる。この直感は、資産が毎回の損益率を掛け合わせて増減する運用では成り立ちません。1 回あたりの期待値は投資比率に比例して増えますが、長期の資産の伸びは途中で頭打ちになり、張りすぎると減り始めます。伸びが最大になる比率を与えるのがケリー基準（ケリー比率）です。
以下は学習用の架空事例です。NAV（純資産価値。運用資産の時価総額）10 億円の国内株ロング運用が、材料（イベント）で株価が大きく動く 1 銘柄への投資比率を考えます。上昇する確率が 55％で＋50％、下落する確率が 45％で−50％とすると、ケリー比率は 20％（2 億円）です。同じ条件を 100 回繰り返して 55 回勝つ場合、10 億円は 20％の投資で 16.50 億円に増えますが、40％の投資では 9.86 億円に減ります（図表3）。算術の期待値は 40％のほうが 20％の 2 倍あるのに、資産は減ります。
ただし、ケリー基準は「毎回同じ条件の賭けを、独立に、長く繰り返せる」という強い仮定の上の考え方です。実際の株式投資は条件が毎回違い、勝率や損益率も推定値にすぎません。本記事は張りすぎの危険を確かめる物差しとして扱います（編集部の見解）。損失許容枠から上限を決める方式はヘッジファンドの投資メモの書き方で扱っているため、本記事は成長率の最適点を見る方式に絞ります。
「期 待値」と「長 期の成長率」はなぜ違うのか
設例の投資比率を f（NAV に対する割合）とします。上昇すると NAV は (1＋0.5f) 倍、下落すると (1−0.5f) 倍です。1 回あたりの算術の期待リターン（NAV 比）は (0.55×0.5 − 0.45×0.5)×f = 0.05f で、f = 20％なら 1.0％、100％なら 5.0％と、比率に比例して増えます。
ところが資産は足し算ではなく掛け算で動きます。f = 100％で＋50％と−50％が 1 回ずつ起きると、資産は 1.5×0.5 = 0.75 倍で、算術の平均損益は 0％なのに 25％減ります。n 回のうち k 回勝つと、資産は元の (1＋bf)^k × (1−af)^(n−k) 倍です（b は勝ったときの利益率、a は負けたときの損失率）。自然対数をとると k×ln(1＋bf) ＋ (n−k)×ln(1−af) で、k がおおむね p×n なら n×g(f) に等しくなります。
1 回あたりの期待対数成長率
g(f) = p×ln(1＋b×f) ＋ q×ln(1−a×f) （q = 1 − p）
n 回後の資産倍率 ≒ exp(n×g(f))
対数成長率は、資産の増減を掛け算のまま平均した 1 回あたりの伸びです。ln は自然対数で、ln 1.1 = 0.0953、ln 0.9 = −0.1054 です。設例の f = 20％では g = 0.55×ln 1.1 ＋ 0.45×ln 0.9 = 0.0524206 − 0.0474122 = 0.0050084（0.501％）で、100 回後は exp(100×0.0050084) = 1.650 倍です。これは 100 回中 55 回勝った場合で、勝ち数の中央値とも一致します。実際の勝ち数がぶれれば結果も上下します。
ケリー比率の公式と、損益比による変わり方
g(f) を f で微分して 0 とおくと、増加と減少が釣り合う点が求まります。p×b／(1＋b×f) = q×a／(1−a×f) を整理すると p×b − q×a = a×b×f×(p＋q) = a×b×f です。g(f) は上に凸なので、この点が最大です（導出は編集部の整理）。
ケリー比率
f* = p／a − q／b = (p×b − q×a)／(a×b) （f* ≦ 0 なら投資しない）
設例では f* = 0.55／0.5 − 0.45／0.5 = 1.10 − 0.90 = 0.20、NAV の 20％（2 億円）です。b = a = 1（勝てば倍、負ければ全額を失う）なら f* = 2p − 1 です。Corporate Finance Institute（CFI）の解説は、賭ける割合を決める公式として (b×p − q)／b の形を示し、結果が負なら賭けないとしています1。この形は a = 1 の場合に上の式と一致します（編集部の整理）。株式のように負けても全額は失わない投資では、a を明示した一般形を使います。
図表1は、損失率 a を 50％に固定し、損益比 r（b ÷ a）と勝率を動かしたケリー比率です。
| 損益比 r = 0.5 （利益率 25％） | r = 1.0 （利益率 50％） | r = 1.5 （利益率 75％） | r = 2.0 （利益率 100％） | |
|---|---|---|---|---|
| 勝率 p = 50％ | 投資しない | 0.0％（投資しない） | 33.3％ | 50.0％ |
| 勝率 p = 55％ | 投資しない | 20.0％ | 50.0％ | 65.0％ |
| 勝率 p = 60％ | 投資しない | 40.0％ | 66.7％ | 80.0％ |
| 勝率 p = 65％ | 投資しない | 60.0％ | 83.3％ | 95.0％ |
勝率だけでは比率は決まりません。勝率 65％でも損益比 0.5 なら f* はマイナスで、投資しません。勝率 50％でも損益比 1.5 なら 33.3％です。優位性が小さいほど f* も小さく、勝率 51％・±50％の設例 C では f* = 0.51／0.5 − 0.49／0.5 = 1.02 − 0.98 = 0.04（4％）です。逆に勝率 60％・利益率 40％・損失率 30％の設例 B は f* = 0.60／0.30 − 0.40／0.40 = 2.00 − 1.00 = 1.00 で、NAV の 100％に達します（第 7 節）。
設例 A：投資比率ごとの成長率を並べる
設例 A の g(f) を投資比率 0％から 60％まで描いたのが図表2です。ケリー比率の 20％で最大の山形となり、g(f) = 0 となる比率は約 39.7％（ケリー比率の約 1.99 倍）です。約 2 倍を超えると、期待値は正でも成長率は負になります。
図表3は、ケリー比率の 0〜5 倍の比率で成長率と NAV 10 億円の資産の推移を比べた表です。算術の期待リターンは比率に比例して 0.5％から 5.0％へ増えます。成長率は 0.5 倍（10％）で 0.375％、1 倍（20％）で 0.501％、1.5 倍（30％）で 0.374％で、0.5 倍の成長率は最大の約 75％（0.375÷0.501）です。2 倍の 40％では −0.014％とほぼ 0、3 倍の 60％では −1.620％、100％では −8.891％まで落ちます。
| 投資比率（投資額） | ケリー比率の倍数 | 対数成長率 g(f) | 算術の期待リターン | 100 回後の資産倍率／NAV | 5 連敗後の NAV |
|---|---|---|---|---|---|
| 0％（0.0 億円） | 0 倍 | 0.000％ | 0.0％ | 1.000 倍／10.00 億円 | 10.00 億円 |
| 10％（1.0 億円） | 0.5 倍 | 0.375％ | 0.5％ | 1.455 倍／14.55 億円 | 7.74 億円 |
| 20％（2.0 億円） | 1 倍 | 0.501％ | 1.0％ | 1.650 倍／16.50 億円 | 5.90 億円 |
| 30％（3.0 億円） | 1.5 倍 | 0.374％ | 1.5％ | 1.453 倍／14.53 億円 | 4.44 億円 |
| 40％（4.0 億円） | 2 倍 | −0.014％ | 2.0％ | 0.986 倍／9.86 億円 | 3.28 億円 |
| 60％（6.0 億円） | 3 倍 | −1.620％ | 3.0％ | 0.198 倍／1.98 億円 | 1.68 億円 |
| 100％（10.0 億円） | 5 倍 | −8.891％ | 5.0％ | 0.0001 倍／0.0014 億円 | 0.31 億円 |
100 回後の NAV は 20％の 16.50 億円が最大で、40％では 9.86 億円、60％では 1.98 億円、100％では 0.0014 億円（約 14 万円）です。5 連敗した直後の NAV は、20％で 10×(1−0.5×0.2)^5 = 5.90 億円（約 41％減）、40％で 3.28 億円です。比率を上げると期待値は増えますが、資産の伸びは増えず、負けたときの傷が深くなります。
過剰ベットの危険：同じ勝敗数でも道筋で傷の深さが変わる
勝ちと負けが並ぶ順序で、途中の落ち込みは大きく変わります。10 回で 6 勝 4 敗なら、投資比率 20％（上昇 ×1.1、下落 ×0.9）で、順序によらず最終は 1.1^6×0.9^4 = 1.1623 倍です。ところが、4 連敗を含む並びでは途中のピークから 1 − 0.9^4 = 34.39％下がり、勝敗を交互に並べて最後に 2 連勝とした並びの最大ドローダウン（資産のピークから谷までの最大の下落率）は 12.67％にとどまります。
投資比率 40％（上昇 ×1.2、下落 ×0.8）では、最終は 1.2^6×0.8^4 = 1.2231 倍で、4 連敗の並びなら 1 − 0.8^4 = 59.04％、交互の並びでも 29.22％下がります。4 連敗で資産は 0.8^4 = 0.4096 倍と半分を割ります。連敗は珍しくなく、勝率 55％で独立に 100 回繰り返すと、4 連敗以上がどこかで起きる確率は約 91.5％です。20％でも 7 連敗で 0.9^7 = 0.478 倍と半分を割り、その確率は約 17.9％です（いずれも厳密計算）。フルケリーは成長率を最大にする代わりに、資産が半分以下になる局面を許容する比率です。
勝率を 5 ポイント誤ると、成長率はどう変わるか
勝率・損益率は将来の推定値で、外れると結果が大きく変わります。CFI も、入力する確率が不正確なら結果は不利になること、リスクを避けたい投資家はケリー比率より小さい割合（分数ケリー）を選び、過大推定の影響を抑えることを述べています2。設例 A で勝率を 55％と見積もり、フルケリー 20％またはハーフ・ケリー 10％を張ったとき、真の勝率が 50％・55％・60％だった場合を図表4に並べます（利益率・損失率の ±50％は正しいと仮定）。
| 真の勝率 | 真のケリー比率 | 真のケリー比率での成長率 | フルケリー 20％：成長率／倍率 | ハーフ・ケリー 10％：成長率／倍率 |
|---|---|---|---|---|
| 真の勝率 50％ | 0％（投資しない） | 0.000％ | −0.503％／0.605 倍 | −0.125％／0.882 倍 |
| 真の勝率 55％ | 20％ | 0.501％ | 0.501％／1.650 倍 | 0.375％／1.455 倍 |
| 真の勝率 60％ | 40％ | 2.014％ | 1.504％／4.501 倍 | 0.876％／2.401 倍 |
真の勝率が 50％なら最適は投資しないことで、フルケリー 20％を張ると成長率は −0.503％、100 回後の NAV は 10 億円から 6.05 億円（0.605 倍）に減ります。ハーフ・ケリー 10％なら −0.125％で、悪化は約 4 分の 1（0.125÷0.503）です。真の勝率が 60％なら最適は 40％で、20％の投資は成長率が約 0.51 ポイント低い 1.504％（最適は 2.014％）、10％の投資では 0.876％です。ハーフ・ケリーは最大点で成長率を約 25％失う代わりに、過大推定時の悪化と 4 連敗後の最大下落（1 − 0.95^4 = 18.55％。フルケリーは 34.39％）を小さくします。
勝率の誤りは、モデルの入力が外れる問題でもあります。金融庁の「モデル・リスク管理に関する原則」は、「モデル・リスク」を「モデルの誤り又は不適切な使用に基づく意思決定によって悪影響が生じるリスク」と定義しています3。この原則は金融機関を対象とする文書で、投資比率の判断に直接適用されるものではなく、モデルリスクの考え方を推定値に基づく投資比率の見直しに当てはめて読むにとどめます（編集部の見解）。ハーフが常に正解とは限らず、割合は入力の不確かさと許容できる下落で決めます。
実務に当てはめるときの限界と、損失許容枠方式との使い分け
損失許容枠方式は、1 銘柄で失ってよい額から上限を逆算します。設例 A で損失許容枠を NAV 比 1.2％（仮定）、弱気シナリオの下落率を 50％とすると、上限は 1.2％÷50％ = 2.4％です。ケリー比率の 20％とは問いが違い、前者は許容できる損失から、後者は長期の成長率から出た数字です。投資額は小さい方の 2.4％以内に収める、という使い分けが一つの考え方です（編集部の見解）。計算は投資メモの記事を参照してください。
当てはめには限界があります。第一に、勝率・損益率は推定値で、結果も 2 通りに限られません。第二に、複数銘柄では相関を考える必要があります。銘柄に固有の変動（個別リスク）は分散で薄まりますが、市場全体が動く局面では同時に下がります（現代ポートフォリオ理論の記事）。暴落は独立な試行ではなく、テールリスク（まれだが影響の極めて大きい損失）として別に備えます。第三に、f* が 100％を超える場合は借入が必要で、設例 B の 100％も見積りの上振れで超えます。信用取引（保証金を預けて資金や株式を借りる取引）の委託保証金は、JPX の説明で売買代金の 30％以上、当初の保証金から損失などを引いた額が売買代金の 20％を下回ると追加の保証金（追証）が必要とされています（2026 年 10 月確認）4。30％なら取引額は保証金の約 3.3 倍（1÷0.3）です。運用の実務はレバレッジ実務の記事を参照してください。
実務チェックリスト
- 勝率 p、利益率 b、損失率 a を別々に置き、f* = p／a − q／b を計算する。2p − 1 の公式を株式にそのまま使わない
- f* が 0 以下なら投資しない。勝率が高くても損益比が低いと期待値が負になる
- 投資比率を 0.5×f*、1×f*、1.5×f*、2×f* としたときの成長率と、5 連敗後・100 回後の資産を表にして比較する
- 勝率を ±5 ポイント動かし、フルケリーとハーフの成長率がマイナスになる条件を把握する
- 4 連敗後の最大下落が社内のドローダウン限度などに収まるかを確認し、損失許容枠から出した上限と並べて小さい方を銘柄別の上限にする
- 複数銘柄の同時保有、相関、暴落、信用取引の保証金・追証は、この計算の外で別に確認する
よくある質問（F AQ）
勝率 65％なのに「投 資しない」になるのはなぜですか。
損益比が低いためです。利益率 25％・損失率 50％なら、投資額あたりの期待値は 0.65×0.25 − 0.35×0.5 = −0.0125
利益率や損失率が毎回違う場合は、どうしますか。
本記事の式は結果が 2 通りの場合です。結果が複数あるときは、各結果の確率と損益率から g
まとめ
期待値が正でも、資産が掛け算で増減する運用では、投資比率に成長率の最大点があります。設例 A のケリー比率は 20％で、約 39.7％を超えると成長率が負になります。勝率の見積りが 5 ポイント外れるだけで成長率は大きく変わるため、ハーフ・ケリーや銘柄別の上限を併用する考え方があります。本記事は特定の投資比率を推奨するものではなく、張りすぎの危険を数字で確かめる手順です。
脚注
- Corporate Finance Institute「Kelly Criterion」（訳・要約は編集部）。各投資・賭けに資産の何割を割り当てるかを決めるための公式で、1956 年に J. L. Kelly が考案したと説明している。結果が 0％未満なら賭けないことを示す、とも書かれている。b を「常に 1」とする CFI の説明は採らず、一般的な定義だけを参照した（参考文献 R1）。↩
- 同「Kelly Criterion」の “Analysis of the Results” の節（訳・要約は編集部）。入力する確率が不正確だと不利になり得ること、リスクを避けたい投資家が選ぶ分数ケリー（Fractional Kelly）が過大推定の影響を抑えることが書かれている（参考文献 R1）。↩
- 金融庁「モデル・リスク管理に関する原則」（令和 3 年 11 月 12 日）「Ⅲ. 定義」（b）モデル・リスク。「「モデル・リスク」とは、モデルの誤り又は不適切な使用に基づく意思決定によって悪影響が生じるリスクをいう。」と定義されている（参考文献 R2）。↩
- 日本取引所グループ「信用取引の目的・仕組み」の「委託保証金」の項。委託保証金は買付代金・売付代金の 30％以上（レバレッジ型・ダブルインバース型の ETF・ETN は 60％以上）と定められ、当初の委託保証金から損失や費用を差し引いた金額が売買代金の 20％を下回った際に追加の保証金を差し入れる、と書かれている（参考文献 R3）。↩
参考文献（2 026年10月確認）
- R1 Corporate Finance Institute「Kelly Criterion」 corporatefinanceinstitute.com （一般的な概念の参考。2020年12月10日公開。参照箇所：定義、History、Analysis of the Results。脚注1・2 の根拠。閲覧日：2026年10月18日）
- R2 金融庁
「モ デル・リスク管理に関する原則」（令 和3年11月12日） fsa.go.jp （参照箇所：Ⅲ. 定義（b）モデル・リスク。PDF 6 ページ（文書上の 5 ページ）。脚注3 の根拠。閲覧日：2026年10月18日） - R3 日本取引所グループ
「信 用取引の目的・仕組み」 jpx.co.jp （参照箇所：委託保証金の項。脚注4 の根拠。閲覧日：2026年10月18日）
※本記事は教育目的の一般的な解説であり、法務・税務・投資助言ではありません。特定の銘柄や投資比率を推奨するものではありません。設例は理解のための学習用の架空事例であり、実在の企業・案件とは関係ありません。
