この記事で分かること

  • ブラック・ショールズ・マートン・モデル（BSMモデル）の計算式と前提
  • 整数設例でコールオプション価格を手計算し、プット・コール・パリティで検算
  • デルタ等グリークスとの関係、Excelでの実装方法（NORM.S.DIST関数）
  • モデルの限界（ボラティリティスマイル）と日本の会計実務での使われ方

30秒で分かる定義

ブラック・ショールズ・マートン・モデル（Black-Scholes-Merton Model、略称BSMモデル）とは、原資産価格が対数正規分布に従うと仮定し、無裁定条件からヨーロピアン型オプションの理論価格を数式で導出する価格評価モデルです。1973年にフィッシャー・ブラックとマイロン・ショールズが発表し、ロバート・マートンが理論を拡張したことからこの名で呼ばれます。デリバティブの価格評価における最も基本的な枠組みであり、オプションのグリークスやインプライド・ボラティリティの考え方の土台になっています。

なぜ実務で重要なのか

デリバティブ・トレーディングデスクでは、オプション取引の基礎で扱うコール・プットの仕組みを踏まえ、BSMモデルを起点に日々のオプション価格やヘッジ比率（デルタ）を算出します。ストラクチャリング・IBでは、転換社債やワラント、仕組み債の評価の理論的基盤として使われます。経理・財務では、従業員向けストックオプションの公正価値評価にBSMモデル（または二項モデル）を用いることが会計基準で求められます。モデルの前提を理解しておくことは、価格の妥当性を検証するうえで欠かせません。

計算式（または仕組み）

コールオプション価格 C ＝ S×N(d1) － K×e－rT×N(d2)
d1 ＝ {ln(S/K) ＋（r＋σ²/2）×T} ÷（σ×√T）　　d2 ＝ d1 － σ×√T

S：原資産価格、K：権利行使価格、r：無リスク金利、σ：ボラティリティ（原資産のリターンの標準偏差）、T：満期までの期間（年）、N(・)：標準正規分布の累積分布関数です。原資産価格が対数正規分布に従い、ヘッジによって無リスクのポジションを常に組めるという前提のもとで導出されます。

整数設例で確認する

設例（架空数値）。原資産価格S＝1,000円、権利行使価格K＝1,000円（アット・ザ・マネー）、無リスク金利r＝2%、ボラティリティσ＝20%、満期T＝1年のヨーロピアン・コールオプションを考えます。

d1 ＝｛ln(1,000/1,000)＋(0.02＋0.20²/2)×1｝÷(0.20×√1) ＝ (0＋0.04)÷0.20 ＝ 0.20
d2 ＝ 0.20－0.20×1 ＝ 0.00
標準正規分布表よりN(0.20)＝0.5793、N(0.00)＝0.5000、e－0.02≒0.9802です。

C ＝ 1,000×0.5793 － 1,000×0.9802×0.5000 ＝ 579.3－490.1 ＝ 89.2円。プット・コール・パリティ（P＝C－S＋K×e－rT）で検算すると、P＝89.2－1,000＋980.2＝69.4円。C－P＝89.2－69.4＝19.8、S－K×e－rT＝1,000－980.2＝19.8で一致し、計算に矛盾がないことを確認できます。

投資判断への影響

BSMモデルが算出するN(d1)はコールオプションのデルタ（原資産価格が1円動いたときのオプション価格の変化率）に対応し、この設例ではデルタ0.58＝オプション1単位に対し原資産0.58単位を保有すればヘッジになる、という形でヘッジ比率の設計に直結します。また、市場価格からモデルを逆算して得るインプライド・ボラティリティは、市場が織り込む将来の変動性の見通しとして、オプション取引や転換社債・ワラントの投資判断で重視されます。

財務モデル・Excelでの使い方

  • 関数の実装：Excelでは標準正規分布の累積分布関数を NORM.S.DIST(d1,TRUE) で計算し、d1・d2をS・K・r・σ・Tの各セルから数式で算出します。
  • 感応度分析：ボラティリティや原資産価格を変数にしたデータテーブルを作成すると、価格の変化に対するオプション価格の感応度（グリークス）を一覧で確認できます。
  • 用途：転換社債の組込みオプション部分の評価や、ストックオプションの公正価値算定シートの中核ロジックとして利用します。

この用語をExcelで「組める」状態にする

BSMモデルの計算式をExcelに実装し、感応度テーブルでオプション価格の変化を分析できるようになる。

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実務家が確認するポイントとよくある誤解

誤解1：「BSMモデルの価格が市場の正しい価格」→ 正しくは、モデルはボラティリティが一定という前提を置いていますが、実際のオプション市場では権利行使価格ごとにインプライド・ボラティリティが異なるボラティリティ・スマイル（スキュー）が観測され、モデルの前提が現実と乖離しています。

誤解2：「配当のある株式にもそのまま使える」→ 正しくは、配当利回りを考慮した修正版（配当利回り分を割引く拡張モデル）を使う必要があります。配当を無視すると理論価格が過大に評価されます。

日本実務での扱い（2026年8月時点）

日本の会計基準では、従業員等に付与するストックオプションの公正な評価単価の算定に、ブラック・ショールズ・モデルや二項モデルなどのオプション価格評価モデルを用いることが求められています。IFRS上のストックオプション会計（IFRS第2号）でも同様にオプション価格評価モデルの使用が前提とされており、日本基準との考え方に大きな差はありません。転換社債型新株予約権付社債（CB）やワラントの評価実務でも、BSMモデルまたはその拡張モデルが理論的な出発点として用いられます。

面接・モデルテストで問われるポイント

Q：BSMモデルの主要な前提を3つ挙げ、それぞれが崩れるとどうなるか説明してください。
「①ボラティリティが満期まで一定、②原資産価格が対数正規分布に従う、③取引コストなく連続的にヘッジができる、の3つが代表的な前提です。①が崩れるとボラティリティスマイルが生じてモデル価格と市場価格が乖離し、②が崩れると急落・急騰（テールリスク）を過小評価し、③が崩れると理論上のヘッジが不完全になり、実際のリスクはモデルの想定より大きくなります。」（30秒回答例）

深掘りでは「インプライド・ボラティリティとヒストリカル・ボラティリティの違い」「配当がある場合のモデルの修正方法」が問われます。

よくある質問（FAQ）

Q. アメリカン・オプションにもBSMモデルはそのまま使えますか？
A. BSMモデルは満期日にしか権利行使できないヨーロピアン・オプションを前提としています。満期前に権利行使できるアメリカン・オプションには、二項モデル等の別の評価手法が必要になる場合があります。

Q. なぜ標準正規分布の値（N(d1)等）を使うのですか？
A. 原資産価格が対数正規分布に従うという前提のもとで、オプションの期待ペイオフを無リスク金利で割り引いて理論価格を導出する過程で、標準正規分布の累積確率が自然に現れるためです。

出典・参考（2026-08確認）

※本記事は教育目的の一般的な解説であり、法務・税務・投資助言ではありません。設例は理解のための架空数値です。

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